I. Notion d'équation différentielle
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et dans laquelle figurent une ou plusieurs dérivées de cette fonction.
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient.
II. Équation y' + ay = 0
y' + ay = 0
Ses solutions sur ℝ sont :
y(x)=ke−ax, k∈ℝ
III. Équation y' + ay = b
Pour a≠0 :
y' + ay = b
y(x)=ke−ax + b/a, k∈ℝ
Si a=0, l'équation devient y'=b et ses solutions sont :
y(x)=bx+c, c∈ℝ
IV. Condition initiale
Pour toute condition y(x₀)=y₀, l'équation y'+ay=b admet une unique solution qui vérifie cette condition.
- Écrire la solution générale.
- Remplacer x par x₀ et y par y₀.
- Déterminer la constante k.
- Écrire la solution particulière.
V. Équations du second ordre y'' + my = 0
| Cas | Équation | Solutions |
|---|
| m=0 | y''=0 | y=ax+b |
| m<0, m=−ω² | y''−ω²y=0 | y=ae−ωx+beωx |
| m>0, m=ω² | y''+ω²y=0 | y=a cos(ωx)+b sin(ωx) |
VI. Conditions initiales du second ordre
Pour y''+my=0, une condition y(x₀)=y₀ et une condition y'(x₀)=z₀ déterminent une unique solution.
On commence par écrire la solution générale, puis on utilise les deux conditions pour trouver les constantes a et b.
VII. Tableau récapitulatif
| Type d'équation | Solutions |
|---|
| y'+ay=0 | ke−ax |
| y'+ay=b | ke−ax+b/a |
| y''=0 | ax+b |
| y''−ω²y=0 | ae−ωx+beωx |
| y''+ω²y=0 | a cos(ωx)+b sin(ωx) |
VIII. Modélisation
Une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à elle-même conduit à une équation du type :
f'(t)=af(t)
La solution est de type exponentiel :
f(t)=keat
On utilise les données initiales pour déterminer k et a.
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