I. Forme algébrique
Un nombre complexe est un nombre de la forme z=a+ib, avec a,b∈ℝ et i²=−1.
z=a+ib ; Re(z)=a ; Im(z)=b
- Si b=0, z est réel.
- Si a=0, z est imaginaire pur.
- ℝ⊂ℂ et iℝ⊂ℂ.
II. Opérations
| Opération | Formule |
|---|
| Somme | (a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b') |
| Produit | (a+ib)(a'+ib')=(aa'−bb')+i(ab'+a'b) |
| Inverse | 1/(a+ib)=a/(a²+b²) − i b/(a²+b²) |
On calcule dans ℂ comme dans ℝ, en remplaçant toujours i² par −1.
III. Égalité de deux complexes
z=z' ⇔ Re(z)=Re(z') et Im(z)=Im(z')
z=0 ⇔ Re(z)=0 et Im(z)=0
IV. Puissances de i
| Forme | Valeur |
|---|
| i⁴ⁿ | 1 |
| i⁴ⁿ⁺¹ | i |
| i⁴ⁿ⁺² | −1 |
| i⁴ⁿ⁺³ | −i |
On réduit l'exposant modulo 4.
V. Conjugué
Le conjugué de z=a+ib est le complexe z̅=a−ib.
z+z̅=2Re(z) ; z−z̅=2i Im(z) ; zz̅=a²+b²
| Condition | Caractérisation |
|---|
| z réel | z=z̅ ⇔ Im(z)=0 |
| z imaginaire pur | z=−z̅ ⇔ Re(z)=0 |
VI. Module
Le module de z=a+ib est la distance du point image de z à l'origine dans le plan complexe.
|z|=√(a²+b²)=√(zz̅)
| Propriété | Formule |
|---|
| Produit | |zz'|=|z||z'| |
| Puissance | |zⁿ|=|z|ⁿ |
| Inverse | |1/z|=1/|z| |
| Quotient | |z'/z|=|z'|/|z| |
| Inégalité triangulaire | |z+z'|≤|z|+|z'| |
VII. Méthodes essentielles
- Pour mettre un quotient sous forme algébrique, multiplier par le conjugué du dénominateur.
- Pour déterminer si z est réel ou imaginaire pur, calculer Re(z) et Im(z).
- Pour calculer un module compliqué, utiliser les propriétés de produit et quotient.
- Pour comparer deux complexes, comparer séparément parties réelle et imaginaire.
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