I. Primitive
Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F'(x)=f(x).
Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives sont F(x)+c, c∈ℝ.
Il existe une unique primitive qui prend une valeur donnée y₀ en un point x₀.
II. Primitives usuelles
| Fonction f(x) | Primitive F(x) |
|---|
| a | ax+c |
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n+1)+c |
| 1/x | ln x + c sur ]0;+∞[ |
| u'uᵐ | uᵐ⁺¹/(m+1)+c, m≠−1 |
| u'/u | ln|u|+c |
III. Opérations
- Une primitive de u+v est U+V.
- Une primitive de au est aU.
- Il faut reconnaître les formes composées : u'uᵐ ou u'/u.
IV. Intégrale
Si f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f, alors l'intégrale de a à b est F(b)−F(a).
∫ab f(x)dx = F(b)−F(a)
- ∫aa f(x)dx=0.
- ∫ab f(x)dx=−∫ba f(x)dx.
- La variable d'intégration est muette.
V. Aire sous une courbe
Si f est continue et positive sur [a,b], alors l'intégrale représente l'aire située sous la courbe de f entre a et b.
VI. Méthode de calcul
- Identifier la forme de la fonction.
- Trouver une primitive F.
- Calculer F(b)−F(a).
- Interpréter le résultat si l'intégrale représente une aire.
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