I. Système linéaire dans ℝ×ℝ
Résoudre un système dans ℝ×ℝ, c'est déterminer tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les équations.
{ ax+by=c ; a'x+b'y=c' }
II. Méthode de substitution
- Exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation.
- Remplacer cette expression dans l'autre équation.
- Résoudre l'équation obtenue.
- Calculer la deuxième inconnue.
- Écrire le couple solution.
III. Méthode de combinaison
- Multiplier les équations pour obtenir des coefficients opposés.
- Additionner membre à membre pour éliminer une inconnue.
- Résoudre l'équation restante.
- Remplacer pour trouver l'autre inconnue.
IV. Systèmes avec logarithmes ou exponentielles
On utilise un changement de variables pour revenir à un système linéaire.
| Type | Changement | Contraintes |
|---|
| a ln x + b ln y = c | X=ln x ; Y=ln y | x>0 et y>0 |
| a eˣ + b eʸ = c | X=eˣ ; Y=eʸ | X>0 et Y>0 |
Après résolution en X et Y, il faut revenir aux variables initiales x et y.
V. Inéquations linéaires dans le plan
Une inéquation du type ax+by+c>0 se résout graphiquement.
- Tracer la droite frontière ax+by+c=0.
- Choisir un point test n'appartenant pas à la droite.
- Vérifier le signe de ax+by+c pour ce point.
- Choisir le demi-plan correspondant.
- Si l'inégalité est large, la droite frontière est incluse.
VI. Bilan
Les systèmes linéaires modélisent de nombreuses situations : budget, mélange, quantités, contraintes et optimisation simple.
Créé par Haniel_dev