I. Définition
La fonction exponentielle népérienne, notée exp ou x↦eˣ, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.
ln(a)=b ⇔ a=eᵇ, avec a>0
- La fonction exponentielle est définie sur ℝ.
- Pour tout x réel, eˣ>0.
- e⁰=1 et e¹=e.
- ln(eᵃ)=a et eln a=a pour a>0.
II. Propriétés algébriques
| Pour a,b réels | Formule |
|---|
| Produit | eᵃ×eᵇ=eᵃ⁺ᵇ |
| Quotient | eᵃ/eᵇ=eᵃ⁻ᵇ |
| Puissance | (eᵃ)ʳ=eᵃʳ |
| Inverse | 1/eᵃ=e⁻ᵃ |
III. Limites de référence
limx→−∞ eˣ=0 ; limx→+∞ eˣ=+∞
limx→−∞ x eˣ=0 ; limx→+∞ eˣ/x=+∞
IV. Dérivée et variation
(eˣ)'=eˣ
Comme eˣ>0 pour tout x réel, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
eᵃ=eᵇ ⇔ a=b ; eᵃ<eᵇ ⇔ a<b
V. Résolution de problèmes
Dans un modèle du type P(t)=1−e−kt, on utilise le logarithme pour isoler t.
- Poser l'équation correspondant au seuil demandé.
- Isoler l'exponentielle.
- Appliquer ln aux deux membres.
- Résoudre l'équation obtenue.
VI. À retenir
L'exponentielle transforme les additions en produits et intervient dans les phénomènes de croissance, de décroissance ou de diffusion.
Créé par Haniel_dev