I. Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0 ; +∞[, s'annule en 1 et vérifie (ln x)'=1/x.
Domaine : ]0 ; +∞[ ; ln(1)=0 ; (ln x)'=1/x
On ne peut prendre le logarithme que d'un nombre strictement positif.
II. Propriétés algébriques
| Pour a>0, b>0 | Formule |
|---|
| Produit | ln(ab)=ln a+ln b |
| Inverse | ln(1/b)=−ln b |
| Quotient | ln(a/b)=ln a−ln b |
| Puissance | ln(aⁿ)=n ln a |
| Racine | ln(√a)=1/2 ln a |
III. Limites de référence
limx→+∞ ln x = +∞
limx→0⁺ ln x = −∞
limx→+∞ (ln x)/x = 0 ; limx→0⁺ x ln x = 0
IV. Variation
Pour tout x>0, 1/x>0, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
a<b ⇔ ln a<ln b, pour a>0 et b>0
V. Résolution d'équations et inéquations
- ln x=0 ⇔ x=1.
- ln a=ln b ⇔ a=b, avec a>0 et b>0.
- ln a<ln b ⇔ a<b, car ln est croissante.
- Toujours déterminer les conditions d'existence avant de résoudre.
VI. Méthode
- Vérifier que les expressions dans les logarithmes sont strictement positives.
- Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier.
- Transformer l'équation ou l'inéquation.
- Résoudre puis garder uniquement les solutions valides.
Créé par Haniel_dev