I. Limites des fonctions polynômes
Une fonction polynôme est une fonction construite avec des puissances entières positives de x, par addition et multiplication par des réels.
limx→a P(x)=P(a)
La limite d'un polynôme en un point est donc obtenue par simple remplacement de x par la valeur considérée.
Si une fonction admet une limite, cette limite est unique.
II. Limites à l'infini
À l'infini, la limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
| Terme dominant | Comportement |
|---|
| axⁿ, n pair, a>0 | +∞ aux deux infinis |
| axⁿ, n pair, a<0 | −∞ aux deux infinis |
| axⁿ, n impair, a>0 | −∞ en −∞ et +∞ en +∞ |
| axⁿ, n impair, a<0 | +∞ en −∞ et −∞ en +∞ |
III. Fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes : f(x)=P(x)/Q(x), avec Q(x)≠0.
- L'ensemble de définition exclut les valeurs qui annulent le dénominateur.
- En un point où Q(a)≠0, on remplace directement x par a.
- À l'infini, on compare les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
IV. Dérivée et variations
Pour étudier une fonction, on calcule sa dérivée puis on étudie le signe de cette dérivée.
| Signe de f'(x) | Variation de f |
|---|
| f'(x)>0 | f est croissante |
| f'(x)<0 | f est décroissante |
| f'(x)=0 | Point critique possible |
V. Méthode d'étude complète
- Déterminer l'ensemble de définition.
- Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
- Calculer la dérivée.
- Étudier le signe de la dérivée.
- Dresser le tableau de variation.
- Déterminer les extremums utiles.
- Interpréter graphiquement ou dans le problème posé.
VI. Application économique
Pour un bénéfice B(x), le bénéfice maximal se trouve en étudiant les variations de B : on cherche l'abscisse où B atteint son maximum.
Créé par Haniel_dev