I. Notion de fraction
1. Définition
Fraction : Soit
a un entier naturel et
b un entier naturel
non nul. L'écriture
a/b est une fraction.
- a = numérateur (en haut)
- b = dénominateur (en bas)
Exemple : 3/4 est une fraction ; 3 est le numérateur, 4 est le dénominateur.
Remarque : Tout entier naturel peut s'écrire comme une fraction : 7 = 7/1 ; 0 = 0/1.
2. Fractions décimales
Fraction décimale : une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000, 10 000…
Exemples : 4/10 ; 7/100 ; 143/100 000
Conversion : 2,7 = 27/10 | 1,52 = 152/100 | 0,005 = 5/1000
3. Représentation sur une droite graduée
Méthode pour placer a/b :
- Choisir un segment unité (longueur 1)
- Le partager en b parts égales
- Compter a graduations depuis l'origine
II. Fractions égales et simplification
1. Fractions égales
Propriété : On obtient une fraction égale en multipliant ou divisant le numérateur ET le dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple : 7/4 = (7×3)/(4×3) = 21/12
2. Simplification
Méthode : Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre (on utilise les critères de divisibilité).
Exemple : 12/9 = (12÷3)/(9÷3) = 4/3
III. Comparaison de fractions
| Cas | Règle | Exemple |
|---|
| Même dénominateur | La plus petite est celle qui a le plus petit numérateur. | 3/7 < 5/7 car 3 < 5 |
| Même numérateur | La plus petite est celle qui a le plus grand dénominateur. | 3/7 < 3/4 car 7 > 4 |
| Dénominateurs différents | On réduit au même dénominateur puis on compare. | Voir méthode ci-dessous |
Méthode : réduction au même dénominateur
Pour comparer a/b et c/d :
- Multiplier a/b par d/d → (a×d)/(b×d)
- Multiplier c/d par b/b → (c×b)/(d×b)
- Comparer les numérateurs obtenus.
Exemple : 3/5 et 7/9 → 27/45 et 35/45 → 27 < 35 donc 3/5 < 7/9
Comparer une fraction à 1
| Condition | Résultat |
|---|
| numérateur < dénominateur | fraction < 1 |
| numérateur > dénominateur | fraction > 1 |
| numérateur = dénominateur | fraction = 1 |
IV. Somme de deux fractions
1. Même dénominateur
Règle : On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
a/b + c/b = (a+c)/b
Exemple : 5/10 + 4/10 = 9/10
2. Dénominateurs différents
Méthode :- Réduire au même dénominateur
- Additionner les numérateurs
a/b + c/d = (a×d)/(b×d) + (c×b)/(d×b) = (a×d + c×b)/(b×d)
Exemple : 7/6 + 2/11 = 77/66 + 12/66 = 89/66
V. Résumé des méthodes essentielles
| Opération | Formule |
|---|
| Fractions égales | a/b = (a×k)/(b×k) |
| Simplifier | a/b = (a÷k)/(b÷k) |
| Comparer (dénominateurs ≠) | Réduire au même dénominateur |
| Somme (même dénom.) | a/b + c/b = (a+c)/b |
| Somme (dénom. ≠) | a/b + c/d = (ad+cb)/(bd) |
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