I. Symétrique d'un point par rapport à un point
1. Définition
Définition : Le point A' est le symétrique du point A par rapport au point O signifie que O est le milieu du segment [AA'].
Remarques :- O est son propre symétrique par rapport à lui-même.
- Si A' est le symétrique de A par rapport à O, alors A est aussi le symétrique de A' par rapport à O (la symétrie est réciproque).
2. Construction
Méthode pour construire A', symétrique de A par rapport à O :
- Tracer la demi-droite [AO)
- Reporter la distance AO de l'autre côté de O sur cette demi-droite
- Le point obtenu A' vérifie AO = OA' (O est bien le milieu de [AA'])
II. Propriétés de la symétrie centrale
1. Conservation de l'alignement
Propriété : Si trois points A, B, C sont alignés, alors leurs symétriques A', B', C' par rapport à un point O sont aussi alignés.
2. Symétrique d'une droite
Propriété : Le symétrique d'une droite (D) par rapport à un point O est une droite (D') parallèle à (D).
Méthodes de construction :- Méthode 1 : Construire les symétriques de 2 points de (D), puis tracer la droite passant par ces 2 points.
- Méthode 2 : Construire le symétrique d'1 point de (D), puis tracer la parallèle à (D) passant par ce point.
3. Conservation des longueurs
Propriété : Le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
Si [A'B'] est le symétrique de [AB] par rapport à I, alors AB = A'B'.
4. Conservation du milieu
Propriété : Le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du symétrique de ce segment.
5. Conservation des angles
Propriété : Le symétrique d'un angle par rapport à un point est un angle de même mesure.
III. Résumé des conservations
| La symétrie centrale conserve… | Conséquence |
|---|
| L'alignement | 3 points alignés → 3 symétriques alignés |
| Les longueurs | AB = A'B' |
| Les angles | Angle = Angle symétrique |
| Le parallélisme | Droite → droite parallèle |
| Le milieu | Milieu → milieu du symétrique |
Retenir : La symétrie centrale conserve les distances, les angles et l'alignement. Elle transforme une figure en une figure de même forme et même taille.
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