I. Position d'un point par rapport à un cercle
Soit un cercle 𝒞 de centre O et de rayon r, et M un point du plan.
| Position de M | Condition |
|---|
| M est à l'intérieur du cercle | OM < r |
| M est sur le cercle | OM = r |
| M est à l'extérieur du cercle | OM > r |
Exemple : 𝒞(I, 6cm). Si IE = 6 → E sur le cercle ; IF = 5,9 → F intérieur ; IG = 7 → G extérieur.
II. Cercle circonscrit à un triangle
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
On dit aussi que le triangle est inscrit dans le cercle.
Propriété : Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des trois médiatrices des côtés du triangle.
Pour construire le cercle circonscrit : tracer 2 médiatrices → leur intersection = centre O → tracer le cercle de centre O passant par un sommet.
III. Cercle circonscrit à un triangle rectangle
Propriété directe : Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le cercle de diamètre [BC] (l'hypoténuse) est circonscrit au triangle ABC.
Propriété réciproque : Si ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC], alors le triangle est rectangle en A.
Astuce : Pour un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
IV. Le disque
Le disque 𝒟(A, r) est l'ensemble des points M du plan tels que AM ≤ r.
M ∈ 𝒟(A, r) signifie que AM < r ou AM = r.
Remarque : Tout point situé sur le cercle 𝒞(A, r) appartient aussi au disque 𝒟(A, r). Le disque comprend le cercle et tout son intérieur.
V. Tableau récapitulatif
| Notion | À retenir |
|---|
| Cercle | Ensemble des points à distance r du centre (OM = r) |
| Disque | Ensemble des points à distance ≤ r du centre (OM ≤ r) |
| Cercle circonscrit | Passe par les 3 sommets du triangle ; centre = concours des médiatrices |
| Triangle rectangle inscrit | L'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit |
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