I. Caractérisation d'un segment
Propriété 1 : Si M appartient au segment [AB], alors AM + MB = AB.
Propriété 2 (réciproque) : Si AM + MB = AB, alors M appartient à [AB].
Exemple : PR = 5, RQ = 3, PQ = 8. Comme PR + RQ = 5 + 3 = 8 = PQ, alors R ∈ [PQ]. ✓
II. La médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu.
Propriétés fondamentales
| Propriété | Données | Conclusion |
|---|
| Propriété 1 | M appartient à la médiatrice de [AB] | MA = MB |
| Propriété 2 (réciproque) | MA = MB | M appartient à la médiatrice de [AB] |
Autrement dit : La médiatrice de [AB] est l'ensemble de tous les points équidistants de A et B.
III. Construction de la médiatrice au compas et à la règle
- Tracer le segment [AB].
- Prendre un écartement de compas supérieur à la moitié de AB.
- Tracer un arc de cercle de centre A de part et d'autre de (AB).
- Sans changer l'écartement, tracer un arc de cercle de centre B de part et d'autre de (AB).
- Les deux arcs se coupent en deux points. La droite passant par ces deux points est la médiatrice.
- Le point d'intersection avec [AB] est le milieu du segment.
IV. Inégalité triangulaire
Pour trois points A, B et M du plan : AM + MB ≥ AB.
L'égalité AM + MB = AB a lieu si et seulement si M est sur le segment [AB].
Application : Pour savoir si un point M est sur un segment [AB], il suffit de vérifier si AM + MB = AB.
V. Droites remarquables liées au segment
| Droite | Définition | Propriété |
|---|
| Médiatrice | ⊥ au segment en son milieu | Ensemble des points équidistants des extrémités |
| Support | Droite contenant le segment | Passe par les deux extrémités |
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