I. Symétrique d'un point par rapport à une droite
Deux points A et B sont symétriques par rapport à une droite (D) signifie que la droite (D) est la médiatrice du segment [AB].
Autrement dit : (D) ⊥ (AB) et AI = IB (I est le point d'intersection).
Remarque : Tout point situé sur la droite (D) est son propre symétrique par rapport à (D).
II. Construction du symétrique d'un point
- Tracer une droite (D) et placer un point M hors de (D).
- Tracer la perpendiculaire à (D) passant par M. Elle coupe (D) en H.
- Reporter la distance MH de l'autre côté : placer M' sur la demi-droite [HM) tel que MH = HM'.
- M' est le symétrique de M par rapport à (D).
III. Propriétés des figures symétriques
1. Points alignés
Si trois points A, B, C sont alignés, alors leurs symétriques A', B', C' par rapport à une droite sont aussi alignés.
2. Droites et demi-droites
- Le symétrique d'une droite par rapport à une droite est une droite.
- Le symétrique d'une demi-droite par rapport à une droite est une demi-droite.
3. Segments
- Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
- Le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique.
4. Angles
Le symétrique d'un angle par rapport à une droite est un angle de même mesure.
5. Cercles
Le symétrique d'un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon. Le centre du cercle symétrique est le symétrique du centre du cercle initial.
6. Droites perpendiculaires et parallèles
| Figure initiale | Symétrique |
|---|
| Deux droites perpendiculaires | Deux droites perpendiculaires |
| Deux droites parallèles | Deux droites parallèles |
| Un triangle rectangle | Un triangle rectangle |
IV. Conservation par la symétrie axiale
La symétrie axiale conserve : les longueurs, les mesures d'angles, l'alignement, le parallélisme et la perpendicularité.
V. Axe de symétrie d'une figure
Une droite (D) est un axe de symétrie d'une figure (F) si chaque point de (F) a pour symétrique par rapport à (D) un point de (F).
| Figure | Nombre d'axes de symétrie |
|---|
| Segment | 2 (son support et sa médiatrice) |
| Droite | Plusieurs (elle-même + toute droite perpendiculaire) |
| Triangle isocèle | 1 |
| Triangle équilatéral | 3 |
| Rectangle | 2 |
| Carré | 4 |
| Cercle | Infini (toute droite passant par le centre) |
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