I. Puissances entières d'un nombre entier naturel
Puissance : an désigne le produit de n facteurs tous égaux à a.
an = a × a × a × … × a (n fois).
Vocabulaire : a2 se lit « a au carré » ; a3 se lit « a au cube » ; n est l'exposant.
| Cas particulier | Règle | Exemple |
|---|
| 0n | = 0 (pour n ≠ 0) | 05 = 0 |
| 1n | = 1 | 1100 = 1 |
| a1 | = a | 71 = 7 |
| a0 | = 1 (par convention) | 240 = 1 |
II. Règles de priorité dans les calculs
Ordre de priorité :- Parenthèses (toujours prioritaires)
- Puissances
- Multiplications et divisions
- Additions et soustractions
Exemple : 7 + 5² − 2 − 3 × (2³ + 1) = 7 + 25 − 2 − 3 × 9 = 32 − 29 = 3
III. Propriétés de calcul avec les puissances
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|
| Produit de même exposant | an × bn = (a × b)n | 74 × 84 = (7 × 8)4 = 564 |
| Produit de même base | an × am = an+m | 22 × 23 = 25 = 32 |
IV. Division euclidienne dans ℕ
Pour deux entiers naturels a et b (b ≠ 0), il existe un unique couple (q, r) tel que :
a = b × q + r avec r < b
a = dividende, b = diviseur, q = quotient, r = reste.
Exemple : 57 ÷ 4 → 57 = 4 × 14 + 1 (dividende = 57, diviseur = 4, quotient = 14, reste = 1)
Multiple : Si le reste r = 0, alors a est un multiple de b. Exemple : 24 = 2 × 12 → 24 est un multiple de 2.
V. Encadrement par deux multiples consécutifs
Si a n'est pas un multiple de b, on peut encadrer a entre deux multiples consécutifs de b :
b × q < a < b × (q + 1)
Exemple : 17 ÷ 6 → 17 = 6 × 2 + 5, donc 6 × 2 < 17 < 6 × 3, soit 12 < 17 < 18.
VI. Nombres premiers
Un nombre premier est un nombre entier naturel (≥ 2) qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Attention :- 1 n'est pas un nombre premier.
- 2 est le seul nombre pair premier.
Nombres premiers inférieurs à 20 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
VII. Reconnaître un nombre premier
On divise le nombre par les nombres premiers successifs (2, 3, 5, 7, 11…) :
- Si on trouve un reste nul → le nombre n'est pas premier.
- Si le quotient devient ≤ au diviseur sans reste nul → le nombre est premier.
| Nombre | Test | Conclusion |
|---|
| 71 | 71÷2 (r=1), 71÷3 (r=2), 71÷5 (r=1), 71÷7 (r=1), 71÷11 → q=6 < 11 | Premier |
| 25 | 25÷2 (r=1), 25÷3 (r=1), 25÷5 → r=0 | Pas premier (25 = 5×5) |
VIII. Décomposition en facteurs premiers
Tout entier ≥ 2 non premier peut s'écrire comme un produit de facteurs premiers. On divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles.
Exemple : 40 → 40 ÷ 2 = 20 → 20 ÷ 2 = 10 → 10 ÷ 2 = 5 → 5 ÷ 5 = 1
Donc 40 = 2³ × 5
| Nombre | Décomposition |
|---|
| 56 | 2³ × 7 |
| 45 | 3² × 5 |
| 258 | 2 × 3 × 43 |
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